Гипотеза Брокара (расширенная версия) и ее доказательство .

Posted on by
Ответить

Доказательство Гипо́тезы Брока́ра:

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа  последовательности \pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2), кроме первого, не меньше 4, где \pi(x) — количество простых чисел, меньших x.

Ввиду того, что минимальное расстояние между простыми числами равно 2, соответственно мы докажем более широкую версию Гипотезы Брока́ра:

Между  $n^2$ и $(n+2)^2 $ всегда найдутся хотя бы 4 простых числа при n>3 .

Доказательство :

Из Следствия#2  Теоремы 1.

$P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+\sqrt{P_{n}} = P_{n}(1+ P_{n}^{-0.5})$  при $n>483$, —  для всякого натурального числа n между  $n^2$  и  $n(n+1)$  всегда найдётся простое число.

Доказательство Гипотезы разбиваем  на 4 этапа, имеем 4 простых числа да и разница между $n^2$ и $(n+2)^2 $ равна $4n+4$.

1.В первой лунке между $n^2$ и $n^2 +n$ согласно Следствию#2 находится  простое число.

2.Во второй лунке между $n^2 +n$ и $n^2 +n+ \sqrt{n^2 +n} $ , а точнее между $n^2 +n$ и  $n^2 +2n$ согласно Следствию#2 находится  простое число.

3.В третьей лунке между  $n^2 +2n$ и  $n^2 +2n+\sqrt{n^2 +2n}$, а точнее между

между  $n^2 +2n$ и $n^2 +3n+1$ согласно Следствию#2  тоже находится  простое число.

$n^2 +2n+\sqrt{n^2 +2n}<n^2 +2n+(n+1)=n^2 +3n+1$.

4.В четвертой лунке между  между $n^2 +3n+1$ и $(n+2)^2 $ согласно Следствию#2  находится  простое число , причем 

$n^2 +3n+1+\sqrt{n^2 +3n+1}<n^2 +3n+1+(n+2)<(n+2)^2$

Гипотеза Брокара (расширенная версия) доказана.

Доказательство Гипотезы Лежандра (Legendre)

Posted on by
4

28.07.2013 Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между $n^2$ и $(n + 1)^2$ всегда найдётся простое число? Для доказательства гипотезы Лежандра нам достаточно показать, что $P_{n+1}<br /><P_{n}+2\sqrt{P_{n}}$.

Для доказательства следующей теоремы мы будем использовать следующее:

1.The asymptotic exphfnsion of  $P_n$  is well know; Cesaro then Cipolla expressed it in 1902:

$P_{n}=n(\ln n+\ln\ln(n)-1 +\frac{\ln\ln(n)-2}{\ln(n)}-\frac{(\ln\ln(n))^2-6\ln\ln(n)+11}{2(\ln n)^2}+O(\frac{\ln\ln(n)}{\ln n})^3). (I)$

2.$$\ln{P_{n}} \leqslant\ln(n)+\ln\ln(n)+1.(II)$$ for  $n\ge2$.

3.$P_{n}\leqslant n(\ln{P_{n}} -1).(III)$ for  $n\ge4$.

(P.Dussart «Estimates of some functions over primes without R.H» p.2,4)

4. $\ln{P_{n}}=\ln(n)+\ln\ln(n)+\frac{\ln\ln(n)-1}{\ln(n)}+O(\frac{\ln\ln(n)}{\ln n})^2. (IV')$

5. $\ln{P_{n}}=\ln(n)+\ln\ln(n)+\frac{\ln\ln(n)-1}{\ln(n)}-\frac{(\ln\ln(n))^2-4\ln\ln(n)}{2(\ln n)^2}+O(\frac{\ln\ln(n)}{\ln n})^3. (IV')$

(Р.Грэхем, Д.Кнут,О.Паташник «Конкретная математика» с.496,639)

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}.(V)$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Если просмотреть все формулы , то для

Допустим, что справедливо неравенство  $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем$$(n+1)\cdot\ln(P_{n})<n\cdot\ln(P_{n+1}) . (1)$$ ,где $\ln{P_{n}}=\ln(n)+\ln\ln(n)+\frac{\ln\ln(n)-1}{\ln(n)}-\frac{(\ln\ln(n))^2-4\ln\ln(n)}{2(\ln\ln(n))^2}+O(\frac{1}{\ln n})^2. (IV')$

Аналогично  для  $\ln(P_{n+1})$ учитывая (IV’) будем иметь ту же функцию , только с значением в точке $n+1$

$$\ln{P_{n+1}}=\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)+\frac{\ln\ln(n+1)-1}{\ln(n+1)}-\frac{(\ln\ln(n+1))^2-4\ln\ln(n+1)}{2(\ln(n+1))^2}+O(\frac{1}{\ln (n+1)})^2. (IV'')$$

Если рассматривать  (IV’) и (IV»), как функции, то это одна и та же функция только взята в точках  $n$ и$n+1$, во-вторых  функция приблизительная, так как точной формулы простого числа в точке  $n$ нет.

И какую формулу для  $\ln(P_{n})$ и$\ln(P_{n+1})$ мы бы не взяли , она будет приблизительной в ту или другую сторону от точного значения .

В нашем случае  (IV’) и (IV») дают «относительную ошибку порядка $(\frac{1}{\ln (n+1)})^2$«.

Легко заметить , что в этих формулах можно пренебречь слагаемыми идущие со знаком минус.Все такие слагаемые имеют величину порядка $O(\frac{1}{\ln n})^2$.

Поэтому в формуле () мы оганичимся слагемыми со знаком плюс, при этом покажем, что неравенство $\ln(P_{n})<\ln(P_{n+1}) $не изменится.

$\ln(n)+\ln\ln(n)+\frac{\ln\ln(n)-1}{\ln(n)}<\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)+\frac{\ln\ln(n+1)-1}{\ln(n+1)}$

Избавимся в (IV) от $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$ неравенством (II), т.е.$$\ln{P_{n}} \leqslant\ln(n)+\ln\ln(n)+1.(II)$$ при $n\ge2$

$$\ln(P_{n+1})=\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)+O(\frac{\ln\ln(n+1)}{\ln(n+1)}). (2''')$$

и неравенство (II) 

$$\ln(P_{n+1}) \leqslant\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1.(2'')$$  при $n\ge2$

Так как   $\ln(P_{n})<\ln(P_{n+1}) $     , то    при замене $\ln(P_{n+1})$ на правую часть  неравенство (2») и $\ln(P_{n})$на правую часть  неравенства (II) знак неравенства не должен изменится, покажем это.

Из   неравенства  $\ln(n)+\ln\ln(n)<\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)$ и оно справедливо для $n\ge2$ и добавив к нему 1

получаем

$\ln(n)+\ln(\ln(n))+1<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1$. (2»’),

как мы видим знак неравенства при замене не поменялся.

 Тогда наше неравенство (1) из выше сказанного и учитывая (2»’) перепишется

$$(n+1)(\ln(n)+\ln\ln(n)+1)<n(\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)+1).(3)$$

После открытия скобок в  (3) , получим
$$(n+1)(\ln(n)+\ln\ln(n))+1<n(\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)).(3')$$

Нам достаточно рассмотреть всего два неравенства из  (3′):

первое

$$(n+1)\ln(n)<n\ln(n+1)(4)$$

и второе

$$(n+1)\ln\ln(n)<n\ln\ln(n+1).(5)$$.

и доказать их ошибочность.

Неравенство (4) неверно, так как. из неравенства  $${n}^{n+1}>{(n+1)}^{n}$$ логарифмируя получаем   $$(n+1) \ln(n)>n \ln(n+1),(6)$$

Сравнивая (4) и (6) мы приходим к противоречию.

Рассмотрим второе неравенство (5).

$$(n+1)\ln\ln(n)<n\ln\ln(n+1).(5)$$ и  перепишем его в следующем виде:$$\frac{\ln\ln(n)}{n}<\frac{\ln\ln(n+1)}{n+1}.(5')$$

Для дальнейшего доказательства , рассмотрим функцию: $$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$

функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$,

что равносильно $f'(x)<0$ при  $x>x_0$.

Вычислим функции  $f(x)$  производную: $$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

Максимум функции  $f(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$  выражается через функцию Ламберта: $$x_{\max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312,$$.

Наша функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает, то есть.  $f'(x)<0$. при   $n\ge6$.

Поэтому  $$f(n)>f(n+1) $$ или тоже самое

$$\frac{\ln\ln(n)}{n}>\frac{\ln\ln(n+1)}{n+1}.(7)$$ верно, причём  при  $n\ge6$

Сравнивая (7) и (5′) мы приходим противоречию.

Из  (7) мы получаем 

$$(n+1)\ln\ln(n)>n\ln\ln(n+1).(8)$$.

Cуммируя неравенства (6) и (8), получаем 

$$(n+1)(\ln(n)+\ln\ln(n))>n(\ln(n+1)+\ln\ln(n+1)).(3'')$$

Сравнивая (3′) и (3») мы приходим противоречию.

Теорема доказана.

——————————————————————————————-

Для доказательства гипотезы Лежандра нам достаточно показать, что $P_{n+1}<br /><P_{n}+2\sqrt{P_{n}}$.

И так   неравенство (V) $P_{n+1}^{n}<P_{n}^{n+1}$  перепишем в другом виде  $$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}} = P_{n}(1+ 2P_{n}^{-0.5})$,  что верно при $n>20$, отсюда $$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

$P_\pi_{(k^2)}<k^2<P_\pi_{(k^2)+1}<P_\pi_{(k^2)}+2\sqrt{P_\pi_{(k^2)}}<k^2+2k<(k+1)^2$

Для $n<20$, достаточно проверить, что между  квадратами чисел от 2 до 8  всегда найдётся простое , так как$P_{21}=73$  и $\sqrt{73}=8,54$.

Гипотеза Лежандра  мною доказана.( Неймет Н.С  от 28.07.2013)

——————————————————————————————————————— Следствия Теоремы 1.  $P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]{P_{n}}.(VI)$

  1. $$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$ при $n>20$,- Гипотеза  Лежандра
  2. $P_{n}+\sqrt{P_{n}} = P_{n}(1+ P_{n}^{-0.5})>P_{n}\sqrt[n]P_{n}$ при $n>483$, —  для всякого натурального числа n между  $n^2$  и  $n(n+1)$  всегда найдётся простое число.
  3. $P_{n}+\sqrt{P_{n}} = P_{n}(1+ P_{n}^{-0.5})>P_{n}\sqrt[n]P_{n}$ при $n>483$— Гипотеза

    Brocard  (тоже доказана)

4 .$P_{n}+P_{n}^{0.4} = P_{n}(1+ P_{n}^{-0.6})>P_{n}\sqrt[n]P_{n}$ при $n>20153$,

     5. Между треугольными числами всегда находится простое число.  доказательство следует из Cледствия #2. $P_\pi_{(T_{n})}<T_{n}<P_\pi_{(T_{n})+1}<P_\pi_{(T_{n})}+\sqrt{P_\pi_{(T_{n})}}<T_{n}+n+1=T_{n+1}$ , где $\pi_{(T_{n})}$-число простых не больше $T_{n}$ — n-го треугольного числа.

6. Гипотеза Крамера .

Теорема: $P_{n+1}<P_n+\ln ^2 P_n$, при $n>10$

Перепишем  $P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]{P_{n}}.(VI)$  в следующем виде:

$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]{P_{n}}=P_{n}-P_{n}+P_{n}\sqrt[n]{P_{n}}=P_{n}+P_{n}(\sqrt[n]{P_{n}}-1)$
$P_{n+1}-P_{n}<P_{n}(\sqrt[n]{P_{n}}-1).(1)$

Но $P_{n}(\sqrt[n]{P_{n}}-1)<\ln ^2 P_n.(2)$  при  $n>10$

Из (1) и (2) получаем

$P_{n+1}-P_{n}<P_{n}(\sqrt[n]{P_{n}}-1)<\ln ^2 P_n$

$P_{n+1}-P_{n}<\ln ^2 P_n$

$P_{n+1}<P_n+\ln ^2 P_n$, при  $n>10$

Гипотеза Крамера доказана. .

7.Теорема 2. $P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]{n}$  (6)

Все следствия Теоремы#1 доказаны.

—————————————————————————————— Доказательство#2 Tеоремы 1 можно провести «снизу вверх» .

Теорема 1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство #2: Из неравенства ${n}^{n+1}>{(n+1)}^{n}$ логарифмируя получаем $(n+1) \ln(n)>n \ln(n+1)$ (1)  или  $ \frac{\ln(n)}{n}>\frac{\ln(n+1)}{n+1}$.

Будем использовать для доказательства следующие неравенства$$(n+1) \ln(\ln(n))>n \ln(\ln(n+1)) (2), $$ или $\frac{\ln\ln n}{n}>\frac{\ln\ln(n+1)}{n+1}$

$$\frac{\ln\ln n-1}{\ln(n)}>\frac{\ln(\ln(n+1))-1}{\ln(n+1)} (3) .$$

доказательства,  которых даны выше  в теореме 1.

Просуммируем левые и правые стороны соответственно неравенств (1) , (2)  и добавим $O(\frac{n\cdot\ln(\ln(n+1))}{ \ln(n+1)})$ в обе стороны, получаем $$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n)))+O(\frac{n\cdot\ln(\ln(n+1))}{ \ln(n+1)})><br />n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1)))+O(\frac{n\cdot\ln(\ln(n+1))}{ \ln(n+1)})$$(5)

правая сторона равна $n\cdot\ln(P_{n+1})$,т.e$$n\cdot\ln(P_{n+1})=n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+O(\frac{\ln(\ln(n+1))}{ \ln(n+1)}))$$ преобразуем левую часть неравенства добавим еще  $O(\frac{\ln(\ln(n))}{ \ln(n)})$ (4)

тогда наше неравенство принимает вид учитывая неравенство(3) $(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n)))+O(\frac{n\cdot\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)})<(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n)))+O(\frac{n\cdot\ln(\ln(n))}{\ln(n)})+O(\frac{\ln(\ln(n))}{ \ln(n)})=(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{ \ln(n)}))$$$(n+1)\cdot\ln(P_{n})= (n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}))$$$$n\cdot\ln(P_{n+1})<(n+1)\cdot\ln(P_{n})$$,

что равносильно$$P_{n+1}^{n}<P_{n}^{n+1}$$

Теорема доказана.

———————————————————————————-

Теорема 2. $P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]{n}$  (6)

Доказательство : Учитывая, что и без (4) в Доказательстве #2

в Теореме 1 выполнялось неравенство (5)  , то неравенство $$n\cdot\ln(P_{n+1})<(n+1)\cdot\ln(P_{n})$$

с выше сказанным перепишем

$$n\cdot\ln(P_{n+1})<(n+1)\cdot\ln(P_{n})-O(\frac{\ln(\ln(n))}{ \ln(n)})$$,

из определения О и взяв экспоненту мы получим
$$P_{n+1}^{n}<\frac{P_{n}^{n+1}}{c_{0}\ln(n)}$$, где $c_{0}>0$ — const

$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]{\frac{P_{n}}{C_{0}\ln(n)}}<P_{n}\sqrt[n]{\frac{P_{n}}{\ln(n)}}<P_{n}\sqrt[n]{n}$$

Теорема 2 доказана.